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多くの他の光学レンズの形状と比較して、湾曲した月型レンズは完成品としてほとんど提供されていません。月型レンズは主に小さなスポットを焦点化したり、平行光を生成する用途で使用されますが、単板凸レンズの方が一般的に優れた価格／性能比を提供します。しかし、わずかに高い価格で、湾曲した月型レンズが大幅に優れた性能を発揮する場合もあります。

球面収差

レンズの球面的な形状により、球面収差は光学軸からの平行光を異なる距離で交差させ、同じ点で交わらないようにします（図1）。複数のレンズを使用することで球面収差を補正できますが、多くの赤外線システムでは材料コストが可視光材料よりもはるかに高いため、レンズの数を最小限に抑えることが望ましいです。複数のレンズを使う代わりに、最適な形状にレンズを成形することで、単一のレンズの球面収差を最小限に抑えることができます。

図1: 球面収差

固定された屈折率とレンズの厚さに対して、特定の焦点距離を持つレンズを作るための無数の半径の組み合わせが存在します。これらの半径の組み合わせは異なるレンズ形状を生み出し、それは光がレンズを通る際にその曲がりによって直接的に球面収差とコマ収差を引き起こします。

レンズの形状は、コディングトン形状係数 C で記述されます（式1および図2）。

図2: 異なるレンズ構成におけるコディングトンの形状係数

薄いレンズの収差方程式（物体を無限遠に配置し、絞り位置を使用）を使って、最小の球面収差を生む条件を導き出すことができます（式2）。

一定の波長が維持できると仮定すると、最小の球面収差を生む指数と形状係数の関係を視覚化することができます（図3）。

図3: 屈折率に対する最適な形状係数

カーブドムーン設計の利点

可視環境で作業する場合、ガラスの屈折率は通常1.5から1.7の間であり、最小の球面収差を持つ形状はほぼ平凸です。しかし、赤外線環境では、ゲルマニウムのような高屈折率材料がよく使用されます。屈折率4.0のゲルマニウムは、球面収差を大幅に低減することにより、湾曲した半月レンズ設計の大きな利点を提供します。

最小の球面収差は、光が両界面で均一に屈折するときに発生します。ゲルマニウム製の半月レンズの第一面は、類似のPCXレンズよりも少し多く光を屈折させますが、PCXレンズの第二面はさらに光を屈折させ、結果として球面収差が全体的に増加します。

図4に示されているように、25 x 25mmのゲルマニウムPCXレンズと25 x 25mmのゲルマニウム湾曲ムーンレンズの性能を比較すると、PCXレンズがムーン湾曲レンズよりもレンズ表面に対して光をより显著に屈折させていることがわかります。曲率の増加により球面収差も増加します。ゲルマニウムの湾曲したムーンレンズはスポットサイズが大幅に減少しており、要求の厳しい赤外線アプリケーションにさらに適しています。

図4x: 25 x 25mmゲルマニウムPCXレンズと25 x 25mmゲルマニウム湾曲ムーンレンズの図

湾月レンズは可視光線領域でも依然として高い性能を提供できますが、通常その利得は増加した製造コストを補うには十分ではありません。図1は、25 x 50mmのフッ化カルシウム（CaF2）PCXレンズと湾月レンズの可視スペクトル応用における性能、および25 x 50mmのゲルマニウム（Ge）PCXレンズと湾月レンズの赤外線応用における性能の比較を示しています。湾曲した月形を使用することで、ゲルマニウムレンズのスポットサイズは大幅に減少します。

表1: 可視光および赤外線用途における平らな凸レンズと湾曲した月形レンズのスポットサイズの比較

湾曲した月形レンズがすべてのアプリケーションで利点を提供するとは限らないが、多くの赤外線アプリケーション、特に分光法においては、コストと性能に显著な利点を提供できる